Числено диференциране.

Много често в практиката се среща следната задача: „Да се намери производната на функцията f в определена точка, като стойностите на функцията са известни само в краен брой точки.” Численото диференциране се използва при функции, които имат сложен аналитичен вид, за които точното пресмятане на производната на е оправдано. Приближеното намиране на производна на функцията f се състои в намирането на производната на някоя приближаваща f, функция. Обикновено за приближаващи функции се използват интерполационните полиноми. Известно е, че задачата за числено диференциране не е устойчива – т.е малки изменения на f могат да доведат до големи изменения в нейната производна. Нека функцията f е определена в интервала [a, b] и х0,…, хn са различни точки от [a, b], съгласно формулата на Нютон. f (x) = Nn(f; x) + f[x0, x1, …, xn, x] ωn (x), (1.1) където ωn (x) = (х - x0) (х – x1) … (х – xn), а Nn(f; x) е интерполационен полином на Нютон за f с възли x0, ..., хn. След диференциране на двете страни се на (1) се получава: (1.2) където ε и η са точки от интервала (a, b). Ето как изглежда грешката при приближаване на с : (1.3) В някои случаи изразът за грешка